同じ誕生日の人がいる確率は?|23人で50%を超える「誕生日のパラドックス」をわかりやすく
クラスや職場に、自分以外で同じ誕生日の2人がいて驚いたことはないでしょうか。 誕生日は365通りもあるので、めったに重ならないように感じますが、実は23人集まれば、同じ誕生日の組がいる確率は50%を超えます。 本記事では、直感に反するこの「誕生日のパラドックス」の考え方と、人数ごとの確率をわかりやすく紹介します。
人数ごとの「同じ誕生日の組がいる確率」
| 人数 | 同じ誕生日の組が少なくとも1組いる確率 |
|---|---|
| 5人 | 約2.7% |
| 10人 | 約11.7% |
| 20人 | 約41.1% |
| 23人 | 約50.7% |
| 30人 | 約70.6% |
| 35人(1クラス程度) | 約81.4% |
| 40人 | 約89.1% |
| 50人 | 約97.0% |
| 57人 | 約99.0% |
| 70人 | 約99.9% |
35人のクラスなら、5回に4回は同じ誕生日の組がいる計算です。 「同じ誕生日の人がいるなんて珍しい」どころか、いないほうが珍しいくらいなのです。
なぜ23人で50%を超えるのか
ポイントは、「誰か2人」の組み合わせの数です。 23人いると、2人の組み合わせは 23×22÷2 = 253組もあります。 1組ごとに誕生日が一致する確率は365分の1と小さくても、253組もあれば、どこか1組くらいは一致してもおかしくありません。
計算の考え方
「少なくとも1組が同じ」確率は、「全員の誕生日がばらばら」になる確率を1から引いて求めます。
- 1人目の誕生日は何日でもよい(365/365)
- 2人目が1人目と違う確率は 364/365
- 3人目が前の2人と違う確率は 363/365
- ……これを23人目(343/365)まで掛け合わせる
23人全員の誕生日がばらばらになる確率は、これらを全部掛けると約49.3%になります。 したがって、少なくとも1組が同じ誕生日になる確率は、1 − 0.493 = 約50.7%です。
「自分と同じ誕生日の人」はなかなかいない
混同しやすいのが、「誰か2人が同じ誕生日」と「自分と同じ誕生日の人がいる」の違いです。 自分と同じ誕生日の人がいる確率は、組み合わせではなく自分1人との比較なので、ぐっと低くなります。
| 自分以外の人数 | 自分と同じ誕生日の人がいる確率 |
|---|---|
| 23人 | 約6.1% |
| 35人 | 約9.2% |
| 100人 | 約24.0% |
| 253人 | 約50.0% |
| 365人 | 約63.3% |
365人集まっても、自分と同じ誕生日の人がいる確率は約63%にとどまります。 「同じ誕生日の人がいた!」と驚くとき、それが自分と同じ誕生日なら、本当に珍しい偶然と言えます。
計算の前提と、実際の誕生日のかたより
ここでの計算は、「1年を365日とし、どの日に生まれる確率も同じ」と仮定しています。 2月29日生まれは、4年に1度しかないため考えに入れていません。
実際には、生まれる人が多い日・少ない日に多少のかたよりがあります。 誕生日がかたよっていると、同じ誕生日の人がいる確率は、ここでの計算よりわずかに高くなります。
※ 確率は小数第2位を四捨五入した目安です。
よくある質問
何人いれば同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えますか?
23人です。23人のグループでは、同じ誕生日の組が少なくとも1組いる確率が約50.7%になります。30人で約70.6%、35人で約81.4%、50人で約97.0%です。
自分と同じ誕生日の人がいる確率は?
自分以外に23人いても、自分と同じ誕生日の人がいる確率は約6.1%しかありません。50%を超えるには、自分以外に253人が必要です。「誰か2人が同じ」と「自分と同じ」は、まったく違う確率になります。
なぜ「パラドックス」と呼ばれるのですか?
数学的な矛盾があるわけではなく、多くの人の直感と計算結果が大きく食い違うためです。誕生日は365通りあるので、同じ誕生日の人がいるには100人以上必要だと感じる人が多いのですが、実際には23人で50%を超えます。
まとめ
同じ誕生日の組がいる確率は、23人で50%、35人で約81%と、直感よりずっと高くなります。 一方、自分と同じ誕生日の人がいる確率は低く、50%を超えるには253人が必要です。 身近にはなかなかいない「自分と同じ誕生日の人」ですが、有名人なら誕生日から調べられます。